Leonardo Fibonacci



Rechiamoci nella Pisa del XIII secolo.

Qui visse Leonardo Pisano, meglio conosciuto appunto come Leonardo Fibonacci (ossia filius Bonaccii, figlio di Guglielmo dei Bonacci), l’importante matematico che, mediante le sue opere, diffuse in Europa il sistema di numerazione arabo-indiano, dopo averlo appreso in giovane età, viaggiando nell’Africa del Nord, al seguito del padre commerciante.

Fu proprio Fibonacci a riprendere, dopo tanto tempo, lo studio del rapporto aureo.

Si narra infatti che intorno al 1200, una volta tornato a Pisa, Leonardo si dedicò alla scrittura di importanti testi matematici, tra i quali, proprio un commento al libro X de “Gli Elementi” di Euclide, purtroppo andato perduto.

Il suo lavoro gli procurò presto ampia fama, a tal punto che l’Imperatore Federico II di Svevia, impegnato in Italia per il consolidamento del proprio potere, chiese di poterlo incontrare.

Avvenne così che Johannes di Palermo, uno tra i dotti ospiti della corte di Federico II, spinto dal desiderio di metterne alla prova le decantate abilità, propose a Fibonacci una serie di quesiti di calcolo da risolvere.

Probabilmente tra questi vi era proprio il problema che gli procurò la fama nei secoli a venire, riportato nella terza parte del suo “Liber Abbaci”:

“Un certo uomo mette una coppia di conigli in un posto circondato su tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte da quella coppia in un anno, se si suppone che ogni mese ogni coppia genera una nuova coppia, che dal secondo mese in avanti diventa produttiva?”


PROVIAMO DUNQUE A VEDERNE LA SOLUZIONE

  • Partendo dalla coppia iniziale di conigli, alla fine del primo mese continua ad esserci solo quella nella gabbia, in quanto ogni coppia di diventa fertile solo dal secondo mese di vita.

  • Nel corso del secondo mese, la coppia darà vita alla prima coppia di cuccioli; quindi alla fine del secondo mese nella gabbia ci sarà un totale di due coppie: quella di partenza e la prima coppia generata.

Alla fine del secondo mese dunque ci saranno 2 coppie, una fertile e una non fertile.

  • Al terzo mese la coppia iniziale dà alla luce un’altra coppia e la coppia del secondo mese diventa fertile, ci sono dunque 3 coppie, due fertili e una non fertile.

  • Al quarto mese dalle due coppie fertili nascono altre due coppie, ci sono in totale cinque coppie.

  • Il quinto mese tre coppie sono fertili e procreano altre 3 coppie, bisogna aggiungere anche le 2 coppie del mese precedente, per un totale di 8 coppie.

  • Pertanto, dopo un anno, si avranno infine 144 coppie di conigli.

Osserviamo la sequenza estrapolata dalla soluzione del problema. Mettendo semplicemente in ordine i numeri naturali che indicano le coppie di conigli presenti nella gabbia, alla fine di ogni mese:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

Tale sequenza possiede incredibili proprietà:


  • Ogni numero è la somma dei due numeri precedenti.


Per esempio: 2 = 1+1 3 = 2+1 5 = 3+2 8 = 5+3 13 = 8+5


  • Questa proprietà permette alla sequenza di proseguire all’infinito.

Infatti per scoprire quale numero ci sarà dopo il 144, basta sommare 89 e 144 per ottenere 233 , e così via.


  • Il rapporto fra due numeri consecutivi tende al numero decimale illimitato: 1,6180339... (ciò fu scoperto da Keplero), che corrisponde proprio al valore della sezione aurea, un rapporto scoperto dai Greci e riconosciuto come uno standard per il giudizio estetico.

3:2=1,5 5:3=1,666… 34:21=1,619… 89:55=1,618…


  • La sequenza che si ottiene elencando le differenze fra due numeri di Fibonacci consecutivi dà vita ancora alla sequenza originale:


2-1 = 1 3-2 = 1 5-3 = 2 8-5 = 3 13-8 = 5 21-13 = 8...




COSTRUZIONE DEL RETTANGOLO AUREO CON IL METODO "FIBONACCI"


Il rettangolo aureo può essere pertanto costruito accostando in senso antiorario dei quadrati aventi come lato i numeri appartenenti alla sequenza di Fibonacci.

Se all’interno di ogni quadrato tracciamo dei quarti di circonferenza il cui raggio corrisponde alla misura del lato del quadrato stesso, otteniamo la cosiddetta spirale aurea.

Osservando l’immagine, è facile intuire che si potrebbero disegnare quadrati e quarti di circonferenza all’infinito, ritornando così al caso già citato del frattale.

Anche nel triangolo aureo è possibile tracciare la spirale di Fibonacci.

Costruirla è molto semplice; infatti basta bisecare un angolo alla base che misura il doppio di quello al vertice, per ottenere un triangolo aureo più piccolo il cui angolo alla base verrà a sua volta bisecato e così via, per innumerevoli volte. Unendo poi i vertici dei triangoli con una curva, potremo infine ottenere la spirale.